Aidan Kelly – “Há mais que um infinito”

Outro texto, conforme citei no post anterior, que merecia ser traduzido é este (clica para ver o original, em inglês), do sr. Aidan Kelly. É algo de “vanguarda metafísica”, digamos. A tradução do texto para o português é cortesia da estimada sra. Denise Diniz a quem sou grato.

Aleph-Nulo

Há mais que um Infinito

(Aidan Kelly, tradução Denise Diniz)

Infelizmente, tenho visto algumas pessoas argumentarem que “uma vez que o Deus Cristão é infinito, nossos Deuses Pagãos devem ser finitos.” Hum, não. Não quero ser sarcástico, mas isto é apenas uma teologia REALMENTE ruim. Uma das causas deste problema é a suposição de que só há um infinito e que o Jeová, o Velho-Pai-de-Ninguém*, tem direito exclusivo sobre ele. Mais uma vez, não. Há mais de um infinito. Na verdade, há uma infinidade de infinitos, de uma infinidade de tipos diferentes.

Sei que não ocorre a muitas pessoas, mesmo que entendam do que se trata a teologia, que teologia possa ser feita matematicamente. Pode sim. Simplesmente observe.

Na vida diária é difícil lembrar que “infinito” não significa apenas “muito grande”, mas “sem fim”. Felizmente há um conjunto sem fim com qual estamos bastante familiarizados, que é o dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5 etc. Cerca de um século atrás, um matemático alemão, Georg Cantor, pensou que talvez pudesse descrever o infinito em um pouco mais de detalhes do que apenas “sem fim”. Começou pela pergunta: “Quantos números naturais existem?”. Ele propôs o conceito de “O número de todos os números”, o qual chamou de número “transfinito” e simbolizou como  (lê-se alef-nulo). Em seguida, Cantor assinalou que “contar” significa colocar os itens no conjunto que contamos, em correspondência de um-para-um com o conjunto dos números naturais: 1, 2, 3 etc. O número que alcançamos ao último item nos diz quantos itens estão no conjunto.

Em seguida, faremos uma pergunta aparentemente idiota: Quantos números pares existem em relação a todos os números naturais? Não é senso comum pensar que há apenas uma metade possível? Mas, se contarmos os números pares os colocando em correspondência de um-para-um com todos os números naturais, que é nossa “regra de contagem” normal, o que vemos é:

2    4    6    8    10…
1    2    3    4    5…

Obviamente a quantidade de números pares é a mesma de números naturais; então o número de todos os números pares também é . Equivalentemente, alef-nulo dividido por 2 é igual a alef-nulo… Por isso, qualquer subconjunto definido dos números naturais, assim como todos, também será igual a  . Você já pode perceber que esta linha de raciocínio segue um aspecto cada vez mais paradoxal.

Além disso, o número de todos os números racionais (frações) também é igual a . Para ver isto, crie uma grade de coordenadas, com os números 1, 2, 3, 4 etc., ao longo dos eixos X e Y. Na grade, o item em cada interseção será uma fração, com o valor de X acima e o valor de Y abaixo, assim:

0    1    2    3    4    5…
1    1/1    2/1    3/1    4/1…
2    ½    2/2    3/2    4/2…
3    ⅓    ⅔    3/3    4/3…

Uma regra de contagem precisa ser um algoritmo que determina qual é o próximo número a ser contado e que conta cada elemento de um conjunto apenas uma única vez. Aqui está a regra de contagem:

1. Comece com 0.
2. Conte uma unidade à direita sobre o eixo-x.
3. Conte diagonalmente abaixo e à esquerda até alcançar o eixo-y.
4. Conte uma unidade abaixo ao longo do eixo-y.
5. Conte diagonalmente acima e à direita até alcançar o eixo-x.
6. Repita os passos 2 ao 5 ad infinitum.

Este caminho em ziguezague garante que cada combinação de dois números naturais será contada apenas uma única vez; por isso o número de todas as frações também é igual a . Se se substitui a grade acima com uma tabela de multiplicação então a contagem mostrará que o número de todos os números compostos é também igual a . Além disso, uma vez que a tabela multiplica o conjunto  ao longo do eixo-x pelo conjunto  do eixo-y abaixo, podemos ver que alef-nulo ao quadrado é igual a alef-nulo…

Uma notação equivalente, que irá tornar-se rapidamente útil, é a utilização de números pares. Isto é, assim como a notação binária produz uma seqüência de números contáveis: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111 etc. podem também produzir uma notação diádica. Isto é, (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (0,3) etc. Cada par possível de números será gerado.

Os pontos em uma matriz tridimensional também podem ser contados. Pode-se visualizar adicionando-se um eixo-z e utilizando-se uma regra de contagem que funciona como uma espiral em ziguezague: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1), (0,0,2) etc. Uma regra de contagem corretamente definida sempre estabelecerá qual a combinação vem em seguida, gerará todas as combinações possíveis de três números e garantirá que cada combinação é contada apenas uma única vez. Como cada eixo fornece um conjunto , alef-nulo ao cubo é igual a alef-nulo.

Pode-se avançar a uma matriz de quatro dimensões. Seres humanos simplesmente não podem visualizar isso, mas não precisamos. Usando uma regra de contagem em conjunto quádruplo (0,0,0,0) produzirá o mesmo resultado. O mesmo vale para cinco dimensões, e assim adiante. Portanto,  elevado a qualquer potência finita ainda é igual a .

Então todo conjunto definível sem fim de números é igual a alef-nulo? Não – e é aí que a linha de raciocínio fica mais interessante. O número de todos os números irracionais é maior do que . Aqui está o porquê. Um número irracional é um número decimal que não se repete, como =3,14159… Pegue dois números decimais quaisquer, que estão em posição igual, digamos, 0,2345 e 0,2346. O último é o número subsequente do primeiro? Não, porque pode-se gerar 0,23455, que fica entre eles. Se subdivide-se uma polegada não há fim para a subdivisão: pode-se escrever um número infinito de casas decimais dentro de qualquer distância, não importa quão pequena. Como não há uma maneira de determinar um “próximo número”, não pode haver regra de contagem. Cantor chamou isso de “o número de todos os números irracionais”, o “número do continuum”, ou alef sub c. Por isso existem pelo menos dois tipos diferentes de números transfinitos, dois infinitos diferentes, mesmo neste modelo matemático simples.

Só por precaução: note que enquanto  elevado a qualquer potência finita ainda é igual a ,  elevado a  é maior do que , mais uma vez, porque não há maneira de determinar um “próximo número” e, portanto, não pode haver regra de contagem. Da última vez que ouvi, ninguém ainda foi capaz de decidir se alef sub c é o mesmo que  elevado a alef-nulo…

Resumindo esta parte do nosso programa assinalo que, de acordo com Hans Hahn (em seu ensaio “Infinity” em James R. Newman, ed. The World of Mathematics [Simon and Schuster, 1956], III, 1598), Cantor também criou um algoritmo que gera uma seqüência infinita de números transfinitos diferentes, isto é, uma infinidade de infinitos. Tenho que ter fé nisso. A matemática está além de mim. Acho que é um argumento um pouco semelhante a Prova de Gödel.

*tradução aproximada de Nobodaddy, termo utilizado por William Blake para referir-se ao deus cristão.

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3 comentários sobre “Aidan Kelly – “Há mais que um infinito”

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